Teilungsmuster
Die Unterteilung der Makroelemente in Finite Elemente erfolgt immer nach einem Teilungsmuster, wobei zwischen regelmäßiger Teilung und unregelmäßiger Teilung (Übergangsmuster) unterschieden wird. Bei regelmäßiger Unterteilung werden entsprechend nachfolgendem Bild gegenüberliegende Kanten mit der gleichen Anzahl Zwischenknoten unterteilt.
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Bei unregelmäßiger Unterteilung ist bei mindestens zwei gegenüberliegenden Kanten die Anzahl Zwischenknoten ungleich, hierdurch wird eine Verfeinerung des Netzes in einer oder zwei Richtungen ermöglicht. Nach welchem Muster die Makroelemente unterteilt werden sollen, wird durch eine zweistellige Kennzahl bei regelmäßiger Teilung und eine dreistellige Kennzahl bei unregelmäßiger Teilung angegeben. Die Kennzahl für regelmäßige Unterteilung ist 20 für die Makroelemente 20-25, 30 für die Makroelemente 30-35 ,60-65 und 40 für die Makroelemente 40-45, 80-85. Wird kein anderes Teilungsmuster zugewiesen, so wird regelmäßige Teilung angenommen.
Außer der Kennzahl für das Teilungsmuster ist die Anzahl der Zwischenknoten für die einzelnen Kanten des Makroelementes anzugeben.
Zusätzlich kann bei einigen Mustern noch eine Verhältniszahl q für die Länge der letzten zur ersten FE-Kantenlänge für eine oder zwei Richtungen angegeben werden. Die FE-Kantenlänge wird für q > 1 linear vergrößert und für q < 1 linear verkleinert.
Bei Volumenelementen wird ein gewähltes Teilungsmuster auf die Grundfläche und die Deckfläche des Makroelementes angewendet. In senkrechter Richtung wird immer gleichmäßig unterteilt, für diese Richtung ist nur eine Anzahl Zwischenknoten und wahlweise eine Verhältniskennzahl für die Länge der letzten zur ersten FE-Kantenlänge anzugeben.
Die Anzahl Zwischenknoten für die Kanten 1-4 des viereckigen Makroelementes werden nachfolgend mit m1,m2,m3,m4 bezeichnet, wobei die Kanten vom ersten Elementknoten beginnend, entgegen Uhrzeigersinn gezählt werden. Die Richtung R1 verläuft vom ersten zum zweiten und die Richtung R2 vom zweiten zum dritten Knoten.
Bei regelmäßiger Teilung sind nur die Zahlen für m1 und m2 anzugeben, m3 = m1 und m4 = m2 werden gesetzt. Ferner können Verhältniszahlen q1 und q2 für die zwei Hauptrichtungen bei Viereckselementen angegeben werden.
Bei unregelmäßiger Teilung bestimmen die letzten zwei Ziffern der dreistelligen Teilungskennzahl entsprechend den nachfolgenden Abbildungen das Teilungsmuster. Die erste Ziffer der Teilungskennzahl bestimmt die Drehung des Musters. Das Muster wird zunächst auf ein Einheitselement angewendet und die Unterteilung wird dann auf die Geometrie des Makroelementes abgebildet. Die erste Ziffer der Teilungskennzahl bestimmt hierbei, auf welchen Knoten des Makroelementes (1-4 entgegen Uhrzeigersinn) der erste Knoten des Einheitselementes abgebildet wird.
Die verschiedenen unregelmäßigen Teilungsmuster sind nachfolgend genauer beschrieben.
Teilungsmuster 101, 102, 104, 105
Bei den Mustern 101 und 102 erfolgt eine lineare Zunahme der Anzahl Zwischenknoten in Richtung von R2. Anzugeben sind die Anzahl Zwischenknoten für die Kanten 1 (m1) und 2 (m2), m3 = m1+m2+1 und m4 = m2 wird gesetzt.
Bei den Mustern 104 und 105 ist zusätzlich auch m3 anzugeben, mit abs(m3-m1) < m2. Die kleinere Anzahl Zwischenknoten bleibt zunächst konstant, dann wird fortlaufend um 1 vergrößert.
Für die Richtung R2 kann wahlweise ein Teilungsverhältnis q für die letzte zur ersten FE-Kantenlänge angegeben werden.
Teilungsmuster 121
Anzugeben sind m1 und m2, m3 = (m1+1)*(3**(m2+1))-1 und m4 = m2 wird gesetzt. Das Teilungsmuster für das gesamte Makroelement entsteht aus der Aneinanderreihung eines Grundmusters in den Richtungen R1 und R2 entsprechend nachfolgender Abbildung. Wird das Makroelement nur nach dem Grundmuster unterteilt (m1=m2=0), so entstehen aus einem Viereckelement 4 Viereckselemente.
Für die Richtungen R2 kann wahlweise ein Teilungsverhältnisse q für die letzte zur ersten FE-Kantenlänge angegeben werden.
Teilungsmuster 122
Das Teilungsmuster ermöglicht entsprechend nachfolgender Abbildung eine Verfeinerung der Unterteilung in zwei Richtungen. Anzugeben sind die Unterteilungsparameter m, q für die Richtung R1. m1=m4=0 und m2=m3=m wird gesetzt.
Teilungsmuster 123, 124, 125, 126
Das Teilungsmuster 123 bewirkt eine Netzverfeinerung in Richtung R2. Anzugeben sind m1,m2,m3, m4=m2 wird gesetzt. M1 muss ungerade sein. Für m3 ist entsprechend nachfolgender Abbildung die Bedingung einzuhalten, dass bei jeder Verfeinerung die Kantenlänge halbiert wird (m3 = (m1+1)*(2**n)-1 mit n <= m2+1). Für die Richtung R2 kann wahlweise ein Teilungsverhältnisse q für die letzte zur ersten FE-Kantenlänge angegeben werden.
Beim Teilungsmuster 124 sind m1 und m2 anzugeben, m3=m1 und m4=m2 wird gesetzt.
Beim Teilungsmuster 125 sind m1 und m2 anzugeben, m3 = 2*m1+1 und m4 = 2*m2+1 wird gesetzt.
Beim Teilungsmuster 126 sind m1 und m2 anzugeben, m3 = 2*m1+1 und m4 = 2*m2+1 wird gesetzt.
Teilungsmuster 133, 134, 135, 136
Teilungsmuster für Makroelemente mit dreieckiger Grundfläche. (m3 = m2)
Beim Teilungsmuster 134 erhalten alle Kanten dieselbe Anzahl Unterteilungen m3 = m2 = m1, wobei m1 ungerade sein muss.
Beim Teilungsmuster 135 muss m1 ungerade und mindestens 1 und m2 mindestens 3 sein, m1 und m2 sind unabhängig voneinander.
Das Teilungsmuster 136 wird aus zwei Dreiecken mit dem Teilungsmuster 134 erzeugt. m1 muss mindestens 3 sein. Zwischen m1 und m2 besteht die Beziehung m1 = 2*m2+1, wobei m2 ungerade sein muss. Es braucht nur m1 angegeben zu werden, m3 = m2 = (m1-1)/2 wird gesetzt. Teilungsmuster 136 ist z. B. für die Unterteilung einer mit dem Makroelementtyp 32 modellierten Halbkreisfläche in Viereckselemente geeignet.
Das Teilungsmuster 134 ist die Standardeinstellung für Makroelemente des Typs 30-35 und 60-65
Teilungsmuster 142
Beim Teilungsmuster 142 kann die Anzahl der Zwischenknoten für alle Kanten des Makroelementes verschieden sein, es wird ein stetiger Übergang zwischen der Anzahl Teilungen der gegenüberliegenden Kanten hergestellt. Ist die Summe der Zwischenknoten aller Elementkanten beim Viereckselement gerade und beim Dreieckselement ungerade, so werden nur Viereckselemente erzeugt, ist die Summe ungerade bzw. bei Dreieckselementen gerade, so wird ein zusätzliches Dreieckselement erzeugt.
Teilungsmuster 150 bei drei- und viereckigen gekrümmten Makroelementen
Wie beim Teilungsmuster 142 kann auch beim Teilungsmuster 150 die Anzahl Zwischenknoten für alle Kanten unterschiedlich sein. Im Gegensatz zum Muster 142 wird hier jedoch das Muster für die Unterteilung des Makroelementes unter Berücksichtigung der Geometrie des Makroelementes berechnet. Hierzu wird das Makroelement auf eine Ebene durch die drei ersten Eckknoten des Elementes projiziert. Die projizierte Fläche in dieser Ebene wird unter Berücksichtigung der Anzahl Zwischenknoten der Elementkanten wie beim Elementtyp 400 beschrieben frei vernetzt. Das entstehende Netz wird dann auf ein Einheitselement abgebildet und dieses Muster wird auf die Geometrie des Makroelementes übertragen. Voraussetzung hierfür ist, dass das Verhältnis der größten zur kleinsten FE-Kantenlänge nicht größer als 4 ist.
Das Muster 150 sollte immer dann verwendet werden, wenn das Makroelement sehr spitze oder sehr stumpfe Winkel aufweist. In der folgenden Abbildung sind für ein Vierecks- und ein Dreieckselement die Muster 150 (links) und 142 (rechts) für gleiche Anzahl von Zwischenknoten auf den Kanten gegenübergestellt.
Teilungsmuster für den Elementtyp 105
Das Makroelement vom Typ 105 ist ein ebenes Element mit bis zu 10 Kanten, die jeweils Geraden, Kreisbögen oder Splinekurven sein können. Für jede Kante muss in der Folge der Kanten entgegen Uhrzeigersinn mit den Kommandos Division oder Muster die Anzahl Zwischenknoten für die Unterteilung des Makroelementes in Finite Elemente festgelegt werden. Mit dem Kommando Muster können dem Elementtyp die folgenden Teilungsmuster zugeordnet werden.
Teilungsmuster 150
Es erfolgt eine freie Vernetzung des Elementes wie beim Teilungsmuster für Elementtyp 400 beschrieben. Hinweis: Die Anzahl Zwischenknoten sollte für alle Kanten etwa so gewählt werden, dass die Kantenlänge für alle FE etwa gleich ist. Das Verhältnis größter zur kleinster Kantenlänge darf nicht größer als 4 sein. Die Vernetzung des gesamten Gebietes erfolgt mit einer konstanten Länge gleich dem Mittelwert aus allen Kanten.
Teilungsmuster 40
Das Muster 40 kann verwendet werden, wenn 4 Eckknoten des umlaufenden Polygonzuges als Eckknoten eines Viereckselementes festgelegt werden. Erster Eckknoten ist immer der erste Knoten des Polygonzuges. Die drei weiteren Eckknoten können mit dem Kommando Elementdefinition angegeben werden, sie werden nach dem Knoten für die Elementhöhe gespeichert. Werden keine Eckknoten für das der Elementteilung zugrunde liegende Viereckselement angegeben, so werden vom Programm die Polygonecken mit den kleinsten Eckwinkeln als Eckpunkte des Viereckselementes verwendet.
Teilungsmuster 151 bis 551
Diese Typkennzahlen können bei Elementen mit 5 Kanten verwendet werden. Hierbei wird zunächst von einer Ecke des Polygonzuges ausgehend, das Element in zwei Viereckselement aufgeteilt, die dann anschließend entsprechend den Teilungsangaben für die 5 Kanten mit dem Muster 142 weiter unterteilt werden. Die erste Ziffer der Typkennzahl bestimmt, welche Ecke des Polygonzuges für die Unterteilung in zwei Viereckselemente verwendet wird. Das folgende Bild zeigt die Muster 151 und 251 unter der Voraussetzung, dass der linke untere Eckpunkt der erste Elementknoten ist.
Teilungsmuster 152 bis 552
Das Teilungsmuster entspricht den Mustern 151 - 551, mit dem Unterschied, dass Bedingungen für die Kantenteilung der Kanten 3 und 4 so einzuhalten sind, dass eine regelmäßige Unterteilung in Viereckselementen möglich ist. Die Bedingungen sind: m4 = m2 und m3 = m1 + m5 + 1; m4 und m3 werden ggf. automatisch korrigiert. Die erste Kennzahl bestimmt, von welcher Ecke des Elementes aus die Unterteilung in zwei Viereckselemente beginnt (vgl. Demo „pattern15x.dem“).
Teilungsmuster 161 bis 661
Die Typkennzahlen können bei Elementen mit 6 Kanten verwendet werden. Hierbei wird von zwei aufeinanderfolgenden Eckpunkten ausgehend, das Element zunächst in drei Viereckselemente aufgeteilt, die dann anschließend entsprechend der Teilungsangaben für die Kanten nach dem Muster 142 weiter unterteilt werden. Die erste Ziffer der Typkennzahl bestimmt den ersten Eckknoten für die Unterteilung in drei Viereckselemente. Das folgende Bild zeigt die Muster 161 und 561, wenn der linke untere Knoten der erste Knoten des Elementes ist.
Teilungsmuster 162 bis 662
Das Teilungsmuster entspricht den Mustern 161 - 661, mit dem Unterschied, dass Bedingungen für die Kantenteilungen der Kanten 4 und 5 so einzuhalten sind, dass eine regelmäßige Unterteilung in Viereckselemente möglich ist. Die Bedingungen sind: m5 = m3 und m4 = m1 + m2 + m6 + 2; m5 und m4 werden ggf. automatisch korrigiert (vgl. Demo „pattern16x.dem“).
Teilungsmuster 150 für den Elementtyp 400
Das Makroelement vom Typ 400 ist ein ebenes Element mit bis zu 39 Kanten, die jeweils Geraden oder Kreisbögen sein können. Für die Unterteilung des Makroelementes in Finite Elemente wird mit dem Kommando Division die maximale Kantenlänge der zu generierenden FE angegeben. Der umlaufende Rand des Elementes wird zunächst entsprechend dieser FE Kantenlänge unterteilt. Von den Rändern ausgehend werden dann fortlaufend Vierecks- und Dreieckselemente bebildet, bis das gesamte Gebiet vernetzt ist. Ist die Anzahl der Zwischenknoten auf allen Kanten ungerade, so erfolgt zunächst eine Vernetzung mit der doppelten Kantenlänge der FE, anschließend werden alle Viereckselemente nochmals in 4 und alle Dreieckselemente in 3 Viereckselemente unterteilt, so dass insgesamt nur Viereckselemente generiert werden. Stark gekrümmte Ränder müssen hierfür jedoch mindestens 3 Zwischenknoten besitzen. Mit dem Kommando Muster kann auch die Anzahl Teilungszwischenknoten für die einzelnen Kanten entgegen Uhrzeigersinn angegeben werden, jedoch darf das Verhältnis der größten zur kleinsten FE Kantenlänge nicht größer als 4 sein. Das gesamte Gebiet wird mit einer Kantenlänge vernetzt, die gleich dem Mittelwert der FE Kantenlängen aller Makroelementkanten ist.
